1955. december 4-én Debrecenben született. Kisgyermekként került a fővárosba, ahol 1966-ban a Budapesti Építők SC-ben Szopkó György keze alatt ismerkedett meg a kenuzással, majd Koléder Vilmos mesteredző csoportjába került. Mestere volt még Szántó Csaba, Vajda Vilmos és Parti János, a későbbi szövetségi kapitány.

1979-től 1988-ig a Budapesti Honvéd Sportegyesületben (BHSE) versenyzett, és sorra nyerte a korosztályos versenyeket. A felnőttek között is sokszor diadalmaskodott, összességében tizennyolcszoros bajnok, érmei zömét párosban nyerte, egyesben egyszer, 1977-ben 10 000 méteren győzött.

A válogatott keretnek 1975-ben lett tagja, és csaknem másfél évtizedet töltött el a nemzetközi élvonalban. Első nagyobb sikerét 1976-ban érte el Brandenburgban Solymár Lászlóval, a páros felbomlása után Parti János szövetségi kapitány javaslatára 1977-ben Foltán Lászlóval térdelt össze, és ezzel megkezdődött sikersorozata.

Párosban tíz világbajnoki aranyérmet nyert: 500 méteren Foltán Lászlóval 1977-ben, 1978-ban és 1981-ben, majd Sarusi Kis Jánossal 1985-ben és 1986-ban; 1000 méteren Buday Tamással 1978-ban és Sarusi Kis Jánossal 1986-ban, 10 000 méteren Buday Tamással (1978, 1981, 1983). 1986-ban Montrealban - ahol Sarusival két számot is nyertek - nemes gesztusként kölcsönadták tartalékhajójukat a legnagyobb riválisuknak számító jugoszláv párosnak, ezért nemzetközi fair play-díjban részesültek.

"Göbös" - kenus körökben mindenki csak ezen a becenéven ismerte - két olimpián vett részt. 1980-ban Moszkvában Foltánnal 500 méteren a táv rövidségéhez képest fölényes győzelmet arattak. Mégpedig úgy, hogy több mint egy hajóhosszal vezettek, amikor a hátul lapátoló "Göbös" berúgta a hajót a célba, azaz oda, ahol a célt tudni vélte. A döntő előtt ugyanis a szovjetek átrendezték a pályát, így a tényleges célvonalig még hátravolt egy bójasor, de az előnyük már akkora volt, hogy a célba becsorogva is elsők tudtak lenni. A Los Angeles-i olimpiától - biztos esélyesként - távol kellett maradnia, mert Magyarország is bojkottálta az eseményt. Az 1988-as szöuli játékokon ő volt a magyar csapat eskümondója és zászlóvivője, párosban 500 méteren Sarusival a hatodik lett.

A sporttól visszavonulása után sem szakadt el: előbb edzőként, majd sportdiplomataként szolgálta-szolgálja a kajak-kenut. 1986-ban szakedzői diplomát szerzett a Testnevelési Főiskolán, edzői pályafutását a Honvédban kezdte, tanítványai összesen 12 világbajnoki címet szereztek. Az 1992-es és az 1996-os olimpián a kenu szakág vezetője volt a magyar válogatottnál, az edzősködést 1996-ban hagyta abba.

1988-ban tagja lett a Magyar Olimpiai Bizottságnak, 1989-1997 között a MOB elnökségének tagjaként a Sportolói Bizottságot vezette. 1992-ben a Magyar Kajak-Kenu Szövetség (MKKSZ) szakmai bizottságának elnökévé választották, 1996-tól a szövetség szakmai alelnöke, 2012-től egyik szakmai vezetője. 1998-ban tagja lett a Minden Idők Legjobb Magyar Sportolói Egyesületnek, 2011-től a Halhatatlan Magyar Sportolók Egyesületének alelnöke, a Sportsegély Alapítvány Kuratóriumának tagja.

1996 óta tagja a Nemzetközi Kajak-Kenu Szövetség (ICF) elnökségének, 2004 és 2008 között az ICF síkvízi bizottságának elnöke, technikai bizottságának vezetője volt, 2008-tól az ICF első alelnöke. Nevéhez fűződik a kajak-kenu világversenyek időbeosztásának reformja. 2003-ban beválasztották az Európai Kajak-Kenu Szövetség elnökségébe. A pekingi olimpia kajak-kenu versenyeinek technikai ellenőre volt.

Vaskuti István sportolóként számos kitüntetésben részesült: háromszor (1980, 1981, 1983) volt Az év kenusa, 1986-ban Nemzetközi fair play-díjat, 1992-ben a Magyar Sportért kitüntető címet kapott, 1995-ben a MOB olimpiai aranygyűrűt, 2006-ban a Magyar Köztársasági Érdemrend középkeresztje kitüntetést vehette át. A mai napig rendszeresen sportol, kenuzik, igazolt versenyzője a Budapesti Honvédnak.